La perfezione e la bellezza delle figure regolari, sia bidimensionali che tridimensionali, ha sempre stimolato suggestioni e fantasie. Mentre la filosofia tentava di attribuire un significato a queste affascinanti form, la scienza e la tecnica cercavano i metodi per riprodurre questi solidi nella maniera più corretta possibile. Esiste una grande differenza tra le figure regolari e i solidi regolari. Le figure regolari sono bidimensionali (triangolo, quadrato, pentagono, esagono e così via) e sono infinite. E' quindi possibile costruire una figura piana regolare con infiniti lati, a patto di rispettare la regola che tutti i lati e gli angoli che la compongano siano uguali. Aumentando progressivamente il numero dei lati, ci si avvicinerà sempre più a al cerchio.

Per costruire un solido regolare (tridimensionale) la regola consiste nell'utilizzare come facce di questo solido figure piane regolari uguali tra loro (triangolo, quadrato, pentagono, esagono e così via), e fare in modo che tutti gli angoli formati da queste facce siano uguali. Rispettando questa regola si possono costruire solamente cinque poliedri regolari: il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, l'icosaedro e il dodecaedro. Quindi la differenza tra le figure piane regolari e i solidi regolari è che, mentre le prime sono infinite, i solidi regolari invece possono essere solamente cinque.

I matematici greci erano già al corrente di questa limitazione. Platone (427-348 a. C.) si occupò in larga misura dei solidi regolari, attribuendo loro un significato preciso, e mettendoli in relazione con l'ordine dell'universo. Il Timeo è il libro di Platone che influenzò in maniera sostanziale il pensiero della filosofia e della scienza; questo volume contiene la più antica descrizione dei solidi regolari che, per questo motivo, sono conosciuti oggi come solidi platonici, e Platone li descrive così:

Tetraedro
Se quattro triangoli equilateri si compongono insieme, essi formano per ogni tre angoli piani un angolo solido, che viene subito dopo il più ottuso degli angoli piani. E di quattro angoli siffatti si compone la prima specie solida che può dividere l'intera sfera in parti eguali e simili.

Il tetraedro ha 4 facce, 6 spigoli e 4 vertici.
Le facce che lo compongono sono triangoli equilateri.
Secondo la classificazione di Platone il tetraedro è il simbolo del fuoco.




Cubo
Ma il triangolo isoscele generò la natura della quarta specie in modo da formare un tetragono equilatero...e la figura del corpo risultante divenne cubica...attribuendo questa forma alla terra.
E' il cubo.

Il cubo ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici.
Le facce che lo compongono sono quadrate.
Secondo la classificazione di Platone il cubo era la forma della Terra.




Ottaedro
La seconda specie, poi, si forma degli stessi triangoli, riuniti insieme in otto triangoli equilateri ....
e diciamo la seconda per generazione quella dell'aria...

L'ottaedro ha 8 facce, 12 spigoli e 6 vertici.
Le facce che lo compongono sono triangoli equilateri.
Secondo la classificazione di Platone l'ottaedro rappresenta l'aria.




Icosaedro
La terza specie è poi formata di centoventi triangoli solidi congiunti insieme e di dodici angoli solidi,
è quella dell'acqua, l'icosaedro.

L'icosaedro ha 20 facce, 30 spigoli e 12 vertici.
Le facce che lo compongono sono triangoli equilateri.
Secondo la classificazione di Platone l'icosaedro è il simbolo dell'acqua.




Dodecaedro
Restava una quinta combinazione e Dio se ne giovò per decorare l'universo, il dodecaedro.

Il tetraedro ha 12 facce, 30 spigoli e 20 vertici.
Le facce che lo compongono sono pentagoni regolari.
Secondo la classificazione di Platone il dodecaedro era il solido
speciale con il quale Dio decorò l'Universo.

(Foglio del Codice Atlantico edizione Hoepli di proprietà di Leonardo3)

Molti progetti di Leonardo vengono fraintesi dal grande pubblico, che attribuisce alle sue idee significati non sempre corretti. Spesso accade di imbattersi in eclatanti scoperte realizzate su misura con l'unico obiettivo di colpire l'opinione pubblica come se lo studio e l'interpretazione di Leonardo fosse uno scoop giornalistico. In molti casi la semplice verità, anche se più difficile da ricercare, non è così giornalisticamente attraente quanto il falso scoop. Leonardo, proteso sempre verso la ricerca della verità, non avrebbe certamente gradito questo tipo di fraintendimento.
Il Codice del Volo (f. 11r) contiene alcuni passi nei quelli Leonardo condanna fermamente l'animo corrotto dalla menzogna.

Senza dubbio tra la verità e la bugia c’è la stessa differenza che tra la luce e le tenebre. La verità ha in sé tanta eccellenza che si eleva senza confronti sopra le materie più umili e basse, superando le incertezze e le bugie dei grandi e altissimi discorsi; perché nella nostra mente, anche se la bugia fa parte della natura umana, non rimane che la verità delle cose che è di grande nutrimento tanto per gli intelletti fini quanto per le menti erranti.

La bugia è così disprezzabile che anche se dicesse grandi cose di Dio, getterebbe discredito sulla sua natura divina; mentre la verità è così eccellente che nel caso lodasse cose minime, le renderebbe nobili.

Ma a te che vivi di sogni, ti piacciono di più le ragioni fallaci e gli imbrogli del parlare di cose grandi e incerte, rispetto alle cose certe e della natura, ma non così elevate?

Il foglio 710r del Codice Atlantico si presta facilmente a equivoci. Tra le ipotesi più frequenti che riguardano il Mazzocchio riprodotto in questo foglio ci sono quelle che contemplano il significato di cappello, o di oggetto mitico dal significato esoterico, legato alla tradizione dei solidi platonici. Queste ipotesi ottengono consenso nel momento in cui , in entrambi i casi, raccontano frammenti di verità. Ma l'interpretazione generale è fortemente criticabile. Ecco perché.

E' vero che nella Toscana rinascimentale era diffuso un copricapo con questa forma chiamato Mazzocchio. Tra le varie definizioni che si incontrano nei vocabolari di lingua italiana compare anche la seguente: parte dell'antico copricapo dei fiorentini, detto foggia, in uso nel Medioevo. Seguendo l'immagine proposta da questa definizione recentemente un modello di Mazzocchio è stato esposto nel 2010 presso la mostra Quali cose siamo alla Triennale di Milano, e la descrizione che compare nel catalogo è una delle migliori che abbia trovato.

Il mazzocchio è un copricapo composto da un anello poco più grande della circonferenza della testa. Il cerchio, formato di borra e rivestimento di panno, nasce come uno degli elementi che compongono il cappuccio medioevale. Il termine potrebbe derivare dal latino maxuca e dal suo diminutivo maxuculus, ossia "una quantità di cose strette insieme a un mazzo". Esso viene realizzato in molteplici varianti, tanto che non risulta risalire a un unico modello originale. Il Quattrocento è la grande epoca del mazzocchio; se ne diffonde l'uso in tutta l'Europa, ma la storia del costume lega questo accessorio all'alta borghesia rinascimentale fiorentina. E' molto presente nella tradizione pittorica e Paolo Uccello lo dipinge frequentemente indosso ai suoi personaggi, poiché la sua superficie geometrica sfaccettata risulta di difficile raffigurazione prospettica ed è quindi sinonimo di grande padronanza dell'uso della prospettiva. A questo proposito Piero della Francesca spiega le regole della sua rappresentazione nel trattato De Prospectiva Pingendi. Una forma archetipo come questa è un simbolo di essenzialità e complessità insieme, una forma senza tempo che nasconde altri significati. Infatti, "aggiustare il mazzocchio a qualcuno" vuol dire "fargli passare i capricci".

(Tratto dal catalogo della mostra Quali cose siamo - Design Museum La Triennale di Milano 3a edizione
dal 27.3.2010 al 27.2.2011 www.triennaledesignmuseum.it)

Per quanto riguarda l'interpretazione in chiave platonica/esoterica è vero che alla bellezza dei solidi geometrici regolari Platone attribuì significati profondi, tanto da coniare il termine solido platonico, ma è anche vero che il Mazzocchio non compare per definizione in questa categoria di solidi geometrici. É invece provato che durante il Rinascimento molti pittori e matematici si cimentarono nello studio della prospettiva, una tecnica di disegno fondamentale, e rivoluzionaria, per rappresentare questi solidi su carta "come l'occhio li vede".
Nel '400 e per tutto il '500 l'arte della pittura e della rappresentazione subì, con l'introduzione della prospettiva, probabilmente la trasformazione più profonda. Paolo Uccello (1397-1475) fu tra i pittori più ingegnosi che si dedicarono allo studio della prospettiva tanto che l'amico Donatello (1386-1466) era solito ammonire l'amico dicendo: "Eh, Paulo, cotesta tua prospettiva ti fa lasciare il certo per l'incerto". Si racconta che l'Uccello si dilettò sempre di investigare faticose e strane opere nell'arte della prospettiva, e dentro tanto tempo vi consumò che se nelle figure avesse fatto il medesimo, più raro e mirabile sarebbe divenuto. Ove altrimenti facendo, se la passò in ghiribizzi mentre visse e fu non manco povero che famoso.

Quello di Paolo Uccello non fu solamente un esercizio di stile fine a se stesso. Il livello di abilità nel disegnare questo solido particolarmente complesso era tale da poterlo inserire liberamente, e quasi ossessivamente, anche in dipinti ufficiali. Anche altri artisti, come il Masaccio (1401-1428) e il Masolino (1383-1440) si cimentarono nella rappresentazione del Mazzocchio.

Paolo Uccello,
La Battaglia di San Romano, Disarcionamento di Bernardino della Ciarda
(Uffizi - Firenze)








Paolo Uccello
La Battaglia di San Romano, Intervento decisivo dei fiorentini di Michele Attendolo
(Louvre - Parigi)





Paolo Uccello
La Battaglia di San Romano, Nicolò da Tolentino alla testa dei fiorentini
(National gallery - Londra)

Paolo Uccello
Il Diluvio
(Chiostro Verde, S. Maria Novella - Firenze)



Masolino da Panicale, Masaccio,
Guarigione delle storpio e resurrezione di Tabida
(Chiesa del Carmine, Cappella Brancacci - Firenze)



Anche Piero della Francesca (1420-1492) si cimentò nel disegno di un mazzocchio in prospettiva (De Prospectiva Pingendi) e anche nella sua Flagellazione di Cristo compare compare un personaggio con Mazzocchio.

Piero della Francesca, Flagellazione di Cristo
(Galleria Nazionale delle Marche - Urbino)



Quale poteva essere la ragione di tanto interesse verso un copricapo? Perché importanti pittori come Uccello, Masaccio e persino Leonardo si interessano a questa strana forma. Come denuncia Michele Hemmer (Matematica e Cultura, 2008) non era certo il copricapo che interessava Uccello, ma quella specie di cerchio sfaccettato che era una stilizzazione geometrica del cappello.

La rappresentazione in prospettiva era quindi indice di talento e arte del pittore, e arricchire le proprie opere con gli oggetti più difficili da rappresentare era segno di particolare maestria. Il Mazzocchio rappresentava uno dei solidi più difficili da rappresentare in questo modo.

I disegni dei solidi geometrici e dei mazzocchi, in prospettiva naturalmente, erano fortemente richiesti anche dai maestri intagliatori, abilissimi artigiani che realizzavano lavori ad intarsio con le raffigurazioni di questi solidi come arredo nelle abitazioni o nelle regge. Nella Firenze del '400 e del '500 quest'arte era molto diffusa e questi artigiani venivano comunemente chiamati con in nome di Maestri di prospettiva. E' facile immaginare come i grandi maestri (Uccello, Piero della Francesca, Masaccio e anche Leonardo) fornissero a questi artigiani i disegni preparatori per incidere le tavole da intarsio.

Gli intarsiatori utilizzavano questi disegni appoggiandoli al legno e praticando una serie di fori per ricalcare il disegno sulle tavole di legno da tagliare e successivamente da posare. Anche nei fogli di Leonardo i fori sui fogli sono molto frequenti, e non è da escludersi che questa pratica, anche per altri oggetti oltre il Mazzocchio, sia stata utilizzata anche per alcuni disegni di Leonardo. In molti di questi intarsi compaiono perfette ricostruzioni di Mazzocchi.

Per nobilitare la pratica dell'intarsio a tal punto da far sì che diventasse un'arte serviva una teoria, o una suggestione, forte. E' stato quindi facile unire la difficoltà della rappresentazione di queste forme, che solo i migliori potevano praticare, con l'alto significato attribuito da Platone ai solidi geometrici regolari. In molti di questi intarsi compaiono quindi le rappresentazioni dei solidi platonici e spesso compare anche il Mazzocchio, il quale, anche se non era propriamente un solido platonico, rappresentava il massimo livello di virtuosismo nell'esercizio della prospettiva per i solidi geometrici.

Ecco quindi il motivo di tanto interesse per il mazzocchio da parte dei pittori rinascimentali. Non perché copricapo e non come custode di significati nascosti, ma perché con la rappresentazione del Mazzocchio si vinceva la sfida della rappresentazione, e solo i migliori potevano vantare questo primato.

Questa sfida vive ancora oggi con le opere di Ben Jakober, Jannich Vu e Mimmo Paladino.

Paolo Uccello,
Disegni di Mazzocchio in prospettiva




Paolo Uccello
Calice
(Galleria degli Uffizi - Firenze)



Mimmo Paladino,
Senza Titolo
(Ara Pacis - Roma)


Ben Jakober e Jannich Vu
Mazzocchio
(Porta Frascati - Prato)

(Foglio del Codice Atlantico edizione Hoepli di proprietà di Leonardo3)

Nel foglio 710r del Codice Atlantico Leonardo disegna un Mazzocchio, ma qual è realmente il suo intento? Leonardo va ben oltre la semplice (e in realtà complessa) rappresentazione dell'oggetto. La sua intenzione è quella di realizzare un Mazzocchio vero, in cera o in piombo. Il disegno del Mazzocchio si presenta in una vista prospettica centrale disegnata in maniera impeccabile, con una cura e con un dettaglio di gran lunga superiore a quello dei suoi predecessori e contemporanei. E' evidente come Leonardo fosse completamente padrone della tecnica prospettica e come conoscesse, probabilmente meglio di chiunque altro, questa pratica. Il disegno del Mazzocchio di Leonardo è perfetto anche perché ricco di dettagli assenti nelle rappresentazioni dei suoi predecessori; ad esempio se ne colgono anche i lati nascosti. Leonardo infatti non disegna solo il volume e le superfici esterne, ma anche le facce e gli spigoli interni.
Nel disegnarlo utilizza un trucco molto comune: disegna solamente metà del solido, per ricalcarne la seconda utilizzando il trucco dei forellini praticati sul foglio, evitando di perdere tempo in un disegno simmetrico che, senza questo metodo, non sarebbe così perfetto.

Il Mazzocchio non è l'unico solido complesso a interessare Leonardo. Il Codice Atlantico è ricco di altri esempi. Leonardo fu così abile in questo tipo di rappresentazioni che il matematico Luca Pacioli (1445-1517) gli commissionò i disegni del celebre trattato De Divina Proportione (1497).

Leonardo da Vinci,
Solidi Geometrici
(Codice Atlantico, ff. 706,707,708) (Foglio del Codice Atlantico edizione Hoepli di proprietà di Leonardo3)





Jacopo de' Barbari
Ritratto di Luca Pacioli
(Museo di Capodimonte - Napoli)


Luca Pacioli
De Divina Proportione
(Biblioteca Ambrosiana - Milano)




Ma il disegno del Mazzocchio del foglio 710r non è semplicemente una sola rappresentazione del solido geometrico; per Leonardo la sua rappresentazione non costituisce né un problema né una prova di virtuosismo. Si tratta in realtà del progetto per realizzare un Mazzocchio reale, in cera o in piombo (lo stesso materiale utilizzato, dice Leonardo per le lettere a stampa). Il testo è chiaro:

Correggesi con cinque punti tutte le parte obblique de' lati di tal mazzocchio. Evvi il lato di mezzo, del quale le sua parte son parallele. Per farla di rilievo, terrai cartone incollato, e taglia li pezzi secondo le due propie forme che di tal mazzocchio qui s'adoperò, e metti insieme le carte di ciascun membro, e quelle avvolgi con filo di refe, e poi gitta dentro la cera liquefatta. Saranno li pezzi che si debbon tagliare di carta, 512, cioè 256 ne' cerchi e 256 nelle cinture. E se tu volessi gittare di piombo ovver della materia che si gittano le lettere da stampa, li pezzi sarebbero il medesimo di sopra, e perchè la calculazion fu errata, perchè li pezzi saran dumila 48.

L'intenzione di Leonardo era dunque quella di realizzare un solido reale da esporre o forse da utilizzare come modello per nuove rappresentazioni. Mentre i “comuni” pittori o i maestri di intarsio si limitavano a rappresentarlo, Leonardo lo realizzava. Non è dato sapere in che scala volesse costruirlo, in quanto il foglio non riporta nessuna misura.

E' difficile attribuire altri significati a questo disegno perché difficilmente Leonardo avrebbe attribuito significati ultraterreni a un solido geometrico. Il passo contenuto nel Codice del Volo e riportato precedentemente (La bugia è così disprezzabile che anche se dicesse grandi cose di Dio, getterebbe discredito sulla sua natura divina; mentre la verità è così eccellente che nel caso lodasse cose minime, le renderebbe nobili) rende poco credibile l'ipotesi secondo la quale Leonardo avrebbe attribuito un significato divino a un semplice oggetto tridimensionale.

Riguardo invece l'ipotesi “copricapo” è davvero difficile immaginare che Leonardo volesse realizzare un cappello, o lo stampo necessario alla sua produzione, utilizzando migliaia di piccoli pezzi in cera o in piombo. Avrebbe potuto utilizzare materiali più idonei a questo scopo, come la carta o il legno.

Il suo è semplicemente un esercizio di stile, svolto alla sua maniera, andando oltre le righe e superando, in qualità e bellezza esecutiva, i limiti dei suoi contemporanei.

Seguono alcune immagini del Mazzocchio ricostruito in 3D e alcune fotografie del modello Mazzocchio realizzato in legno ed esposto in mostra da Leonardo3.

Ricostruzione 3D del Mazzocchio (Copyright Leonardo3 - All rights reserved)


Ricostruzione 3D del Mazzocchio su un probabile tavolo di lavoro di Leonardo.


Tutti i pezzi che compongono il Mazzocchio. Leonardo conta 2048 pezzi.


Ricostruzione virtuale del laboratorio di Leonardo (tratta da Il laboratorio di Leonardo - Leonardo3)

Modello del Mazzocchio realizzato in legno.

M. Emmer, Matematica e cultura 2008 - 2008 Springer, Milano
www.mat.uniroma1.it/people/emmer
www.caldarelli.it/harmonices/emmer.htm

Catalogo della mostra Quali cose siamo - 2010 Design Museum La Triennale di Milano, Milano
www.triennaledesignmuseum.it

Platone, Timeo, in Opere - 1966 Laterza editori, Bari

L. Pacioli, De divina Proportione - 1982 Silvana Editoriale, Milano

E. Zanon, Il Libro del Codice del Volo - 2009 Leonardo3, Milano

M. Taddei, M. Lisa, E. Zanon, Il Codice Atlantico - 2008 Leonardo3, Milano